单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知点 $P(a, b)$ 在直线 $y=-3 x-4$ 上, 且 $2 a-5 b \leqslant 0$, 则下列不等式一定成立的是 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{a}{b} \leqslant \frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{a}{b} \geqslant \frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{b}{a} \geqslant \frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{b}{a} \leqslant \frac{2}{5}$
我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少” 问题: “六贯二百一十钱, 倩人去买几株椽. 每 株脚钱三文足, 无钱准与一株椽., 其大意为: 现请人代买一批椽, 这批椽的价钱为 6210 文. 如果每株椽的运费是 3 文, 那么少拿一株椽后, 剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱, 试问 6210 文能买多少株椽? 设这批椽的数量为 $x$ 株, 则符合题意的方程是 （ ）
$\text{A.}$ $3(x-1)=\frac{6210}{x}$
$\text{B.}$ $\frac{6210}{x-1}=3$
$\text{C.}$ $3 x-1=\frac{6210}{x}$
$\text{D.}$ $\frac{6210}{x}=3$
已知 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是抛物线 $y=a x^{2}-2 a x$ 上的点, 下列命题正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|>\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1}>y_{2}$
$\text{B.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|>\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1} < y_{2}$
$\text{C.}$ 若 $\left|x_{1}-1\right|=\left|x_{2}-1\right|$, 则 $y_{1}=y_{2}$
$\text{D.}$ 若 $y_{1}=y_{2}$, 则 $x_{1}=x_{2}$
已知 $x=1$ 是一元二次方程 $(m-2) x^{2}+4 x-m^{2}=0$ 的一个根, 则 $m$ 的值为 （ ）
$\text{A.}$ - 1 或 2
$\text{B.}$ $-1$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 0
设 $a, b, c$ 为互不相等的实数, 且 $b=\frac{4}{5} a+\frac{1}{5} c$, 则下列结论正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $c>b>a$
$\text{C.}$ $a-b=4(b-c)$
$\text{D.}$ $a-c=5(a-b)$
已知 $43^{2}=1849,44^{2}=1936,45^{2}=2025,46^{2}=2116$. 若 $n$ 为整数 且 $n < \sqrt{2021} < n+1$, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 43
$\text{B.}$ 44
$\text{C.}$ 45
$\text{D.}$ 46
我国古代数学著作《孙子算经》有 “多人共车” 问题: “今有三人共车, 二车空; 二人共车,
九人步. 问: 人与车各几何?”其大意如下: 有若干人要坐车, 如果每 3 人坐一辆车, 那么 有 2 辆空车; 如果每 2 人坐一辆车, 那么有 9 人需要步行, 问人与车各多少? 设共有 $x$ 人, $y$ 辆车, 则可列方程组为( )
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y-2)=x \\ 2 y-9=x\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y+2)=x \\ 2 y+9=x\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y-2)=x \\ 2 y+9=x\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y+2)=x \\ 2 y-9=x\end{array}\right.$
为落实 “双减” 政策, 某校利用课后服务开展了主题为 “书香满校园”的读书活动. 现需购买甲, 乙两种读本共 100 本供学生阅读, 其中甲种读本的单价为 10 元/本, 乙 种读本的单价为 8 元/本, 设购买甲种读本 $x$ 本，则购买乙种读本的费用为( )
$\text{A.}$ $8 x$ 元
$\text{B.}$ $10(100-x)$ 元
$\text{C.}$ $8(100-x)$ 元
$\text{D.}$ $(100-8 x)$ 元
填空题 （共 16 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $|x-2|+\sqrt{x+y}=0$, 则 $-\frac{1}{2} x y=$ （ ）
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{3} \leq-1, \\ 3 x+5 < 2\end{array}\right.$ 的解集是 （ ）
已知二元一次方程 $x+3 y=14$, 请写出该方程的一组整数解 （ ）
已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2 x+k=0$ 有两个相等的实数根, 则 $k$ 的值是 （ ）
方程组$\left\{\begin{array}{l}
x-y=1 \\
3 x+y=7
\end{array}\right.$ 的解为 （ ）
设抛物线 $y=x^{2}+(a+1) x+a$, 其中 $a$ 为实数.
（1）若抛物线经过点 $(-1, m)$, 则 $m=$
(2) 将抛物线 $y=x^{2}+(a+1) x+a$ 向上平移 2 个单位, 所得抛物线顶点的纵坐标的最大值 是
若 $\sqrt{x-7}$ 在实数范围内有意义, 则实数 $x$ 的取值范围是
方程 $\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x}$ 的解为
已知非零实数 $x, y$ 满足 $y=\frac{x}{x+1}$, 则 $\frac{x-y+3 x y}{x y}$ 的值等于 （ ）
关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{3} x-1>\frac{1}{2}$ 的解集是
关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2 x+k=0$ 有两个相等的实数根, 则 $k$ 的值是
二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x+2 y=-2 \\ 2 x+y=2\end{array}\right.$ 的解为
若一元二次方程 $x^{2}+b x+c=0$ ( $b, c$ 为常数) 的两根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $-3 < x_{1} < -1,1 < x_{2} < 3$, 则 符合条件的一个方程为
若 $x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$ 且 $0 < x < 1$, 则 $x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=$
分式方程 $\frac{2}{x}=\frac{5}{x+3}$ 的解为
关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 x+\mathrm{t}=0$ 有两个相等的实数根, 则实数 $\mathrm{t}$ 的值为
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解不等式 $\frac{2}{3} x+\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} x$, 并在数轴上表示其解集.
小敏与小霞两位同学解方程 $3(x-3)=(x-3)^{2}$ 的过程如下框: 的解答过程.
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√ ”；若错误请在框内打“X”，并写出你的解答过程．
已知二次函数 $y=-x^{2}+6 x-5$.
(1) 求二次函数图象的顶点坐标;
（2）当 $1 \leqslant x \leqslant 4$ 时, 函数的最大值和最小值分别为多少?
(3) 当 $t \leqslant x \leqslant t+3$ 时, 函数的最大值为 $m$, 最小值为 $n$, 若 $m-n=3$, 求 $t$ 的值.
解不等式: $\frac{2 x-1}{2}>1$.
解不等式组: $\left\{\begin{array}{l}5 x-3>2 x, \\ \frac{2 x-1}{3} < \frac{x}{2} .\end{array}\right.$
解不等式组: $\left\{\begin{array}{l}2 x \leq 6-x, \text { ( } 1) \\ 3 x+1>2(x-1) .\end{array}\right.$
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^{2}+b x-2$ 交 $x$ 轴于 $A, B$ 两点, 交 $y$ 轴于点 $C$, 且 $O A=2 O C=8 O B$. 点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一动点.
（1）求此抛物线的表达式;
(2) 若 $P C / / A B$, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 连接 $A C$, 求 $\triangle P A C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标.
解不等式: $\frac{x-1}{3}-1>0$.
解不等式组: $\left\{\begin{array}{c}4 x-5>x+1 \\ \frac{3 x-4}{2} < x\end{array}\right.$.
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4 m x+3 m^{2}=0$.
(1) 求证：该方程总有两个实数根;
(2) 若 $m>0$, 且该方程的两个实数根的差为 2 , 求 $m$ 的值.
已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点.
（1）若抛物线过点 $P(0,1)$, 求 $a+b$ 的最小值;
(2) 已知点 $P_{1}(-2,1), P_{2}(2,-1), P_{3}(2,1)$ 中恰有两点在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2) 设直线 $l: y=k x+1$ 与抛物线交于 $M, N$ 两点, 点 $A$ 在直线 $y=-1$ 上, 且 $\angle M A N=90^{\circ}$, 过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B, C$. 求证: $\triangle M A B$ 与 $\triangle M B C$ 的面 积相等.
先化简, 再求值: $\left(2-\frac{2 x}{x-2}\right) \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}-4 x+4}$, 其中 $x=4$.
解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4>3(x-2) \\ 4 x>\frac{x-7}{2}\end{array}\right.$.
解不等式组: $\left\{\begin{array}{l}3 x>-8-x(1) \\ 2(x-1) \leq 62\end{array}\right.$
若关于 $x$ 的函数 $\mathrm{y}$, 当 $\mathrm{t}-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \mathrm{t}+\frac{1}{2}$ 时, 函数 $\mathrm{y}$ 的最大值为 $\mathrm{M}$, 最小值为 $\mathrm{N}$, 令函数 $\mathrm{h}=\frac{\mathrm{M}-\mathrm{N}}{2}$, 我们不妨把函数 $\mathrm{h}$ 称之为函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数”.
(1) (1) 若函数 $\mathrm{y}=4044 x$, 当 $\mathrm{t}=1$ 时, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的值;
(2)若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{k} x+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0, \mathrm{k} ， \mathrm{~b}$ 为常数)，求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的解析式;
(2) 若函数 $\mathrm{y}=\frac{2}{x}(x \geqslant 1)$, 求函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同体函数” $\mathrm{h}$ 的最大值;
(3) 若函数 $\mathrm{y}=-x^{2}+4 x+\mathrm{k}$ ，是否存在实数 $\mathrm{k}$, 使得函数 $\mathrm{y}$ 的最大值等于函数 $\mathrm{y}$ 的 “共同 体函数” $\mathrm{h}$ 的最小值, 若存在, 求出 $\mathrm{k}$ 的值; 若不存在, 请说明理由.