单选题 （共 22 题 ），每题只有一个选项正确
解方程 $-2(2x+1)=x$， 以下去括号正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $-4x+1=-x$
$\text{B.}$ $-4x+2=-x$
$\text{C.}$ $-4x-1=-x$
$\text{D.}$ $-4x-2=-x$
如图, 点 $A 、 B 、 C$ 都在方格纸的格点上, 若点 $A$ 的坐标为 $(0,2)$, 点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$, 则点 $C$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(2,2)$
$\text{B.}$ $(1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1)$
$\text{D.}$ $(2,1)$
如图, 已知 $a / / b$, 直线 $l$ 与直线 $a 、 b$ 分别交于点 $A 、 B$, 分别以点 $A 、 B$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧, 两弧相交于点 $M 、 N$, 作直线 $M N$, 交直线 $b$ 于点 $C$, 连接 $A C$, 若 $\angle 1=40^{\circ}$, 则 $\angle A C B$ 的度数是 ( )
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $95^{\circ}$
$\text{C.}$ $100^{\circ}$
$\text{D.}$ $105^{\circ}$
将一张以 $A B$ 为边的矩形纸片, 先沿一条直线前掉一个直角三角形, 在剩下的纸片中, 再沿一条直线前掉一个直角三角形（剪掉的两个 直角三角形相似), 剌下的是如图所示的四边形纸片 $A B C D$, 其中 $\angle A=90^{\circ}, A B=9, B C=7, C D=6, A D=2$, 则剪掉的两个 直角三角形的斜边长不可能是
$\text{A.}$ $\frac{25}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{45}{4}$
$\text{C.}$ $10$
$\text{D.}$ $\frac{35}{4}$
如图, 已知 $D 、 E$ 分别为 $A B 、 A C$ 上的两点, 且 $D E / / B C, A E=2 C E$, $A B=6$, 则 $A D$ 的长为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
下列命题中, 逆命题是真命题的是
$\text{A.}$ 对顶角相等
$\text{B.}$ 全等三角形的面积相等
$\text{C.}$ 两直线平行, 内错角相等
$\text{D.}$ 如果 $a=b$, 那么 $a^2=b^2$
阅读以下作图步骤:
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C, O D$, 使 $O C=O D$; ②分别以 $C, D$ 为圆心, 以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧, 两弧在 $\angle A O B$ 内交于点 $M$; ③作射线 $O M$, 连接 $C M, D M$, 如图所示. 根据以上作图, 一定可以推得的结 论是
$\text{A.}$ $\angle 1=\angle 2$ 且 $C M=D M$
$\text{B.}$ $\angle 1=\angle 3$ 且 $C M=D M$
$\text{C.}$ $\angle 1=\angle 2$ 且 $O D=D M$
$\text{D.}$ $\angle 2=\angle 3$ 且 $O D=D M$
图, 直线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 则 $\angle B O D=$
$\text{A.}$ $40^{\circ}$
$\text{B.}$ $50^{\circ}$
$\text{C.}$ $55^{\circ}$
$\text{D.}$ $60^{\circ}$
如图 1 是我国古建筑墙上采用的八角形空窗, 其轮廓是一个正八边形, 窗外之境如同镶嵌于一个画框之 中. 如图 2 是八角形空窗的示意图, 它的一个外角 $\angle 1=$
$\text{A.}$ $45^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $110^{\circ}$
$\text{D.}$ $135^{\circ}$
下列命题中是真命题的是
$\text{A.}$ 同位角相等
$\text{B.}$ 三角形一边的中线平分三角形的周长
$\text{C.}$ 垂直于同一直线的两直线平行
$\text{D.}$ 过直线外一点有且仅有一条直线与等直线平行
如图, 一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向, 如果 $\angle A=130^{\circ}$, 那么 $\angle B$ 的度数是
$\text{A.}$ $160^{\circ}$
$\text{B.}$ $150^{\circ}$
$\text{C.}$ $140^{\circ}$
$\text{D.}$ $130^{\circ}$
在圆周上标出 720 个点, 恰分该圆周为 720 段相等的弧, 以这些分点为顶点的不同的正多边形的种数为
$\text{A.}$ 72
$\text{B.}$ 36
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 28
如图, $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$, 以点 $\mathrm{O}$ 为圆心, 以任意长为半径作弧交 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{C}$, $\mathbf{D}$ 两点; 分别以 $\mathbf{C}, \mathbf{D}$ 为圆心, 以大于 $\frac{1}{2} \mathbf{C D}$ 的长为半径作弧, 两弧相交于点 $\mathbf{P}$;以 $O$ 为端点作射线 $O P$, 在射线 $O P$ 上截取线段 $O M=6$, 则 $M$ 点到 $O B$ 的距离为
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
如图, 将三角形 $A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $85^{\circ}$ 得到三角形 $A B^{\prime} C^{\prime}$, 若 $\angle C^{\prime} A B^{\prime}=60^{\circ}$, 则 $B^{\prime}$ $\angle C A B^{\prime}=$
$\text{A.}$ $35^{\circ}$
$\text{B.}$ $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $25^{\circ}$
$\text{D.}$ $15^{\circ}$
已知 $\angle A O B=30^{\circ}$, 自 $\angle A O B$ 顶点 $O$ 引射线 $O C$, 若 $\angle A O C: \angle A O B=4: 3$, 则 $\angle B O C$ 的度数是
$\text{A.}$ $10^{\circ}$
$\text{B.}$ $40^{\circ}$ 或 $30^{\circ}$
$\text{C.}$ $70^{\circ}$
$\text{D.}$ $10^{\circ}$ 或 $70^{\circ}$
已知线段 $A B=6 \mathrm{~cm}$, 在直线 $A B$ 上画线段 $A C=2 \mathrm{~cm}$, 则 $B C$ 的长是
$\text{A.}$ $8 \mathrm{~cm}$
$\text{B.}$ $8 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$
$\text{C.}$ $4 \mathrm{~cm}$
$\text{D.}$ 不能确定
如图, $\triangle A B P$ 为圆锥经过底面直径 $A B$ 的最大截面, $A B=6, P B=9$, 点 $C$ 为母线 $P B$ 的中点. 一只蜘蛛要从点 $A$ 沿圆雉侧面爬到点 $C$, 则该蜘蛛要爬的最短路径长为
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ $\frac{9}{2} \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ $63 \sqrt{3}$
如图, 已知 $\angle 1=\angle 2=\angle 3=50^{\circ}$, 则 $\angle 4$ 的度数是
$\text{A.}$ $120^{\circ}$
$\text{B.}$ $125^{\circ}$
$\text{C.}$ $130^{\circ}$
$\text{D.}$ $135^{\circ}$
高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程. 其中的数学原理是
$\text{A.}$ 两点之间线段最短
$\text{B.}$ 两点确定一条直线
$\text{C.}$ 平行线之间的距离最短
$\text{D.}$ 平面内经过一点有无数条直线
如图,直线 $m / / n, \triangle A B C$ 是等边三角形, 顶点 $B$ 在直线 $n$ 上, 直线 $m$交 $A B$ 于点 $E$, 交 $A C$ 于点 $F$, 若 $\angle 1=140^{\circ}$, 则 $\angle 2$ 的度数是
$\text{A.}$ $80^{\circ}$
$\text{B.}$ $100^{\circ}$
$\text{C.}$ $120^{\circ}$
$\text{D.}$ $140^{\circ}$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 根据尺规作图痕迹, 下列说法不一定正确的是
$\text{A.}$ $A F=B F$
$\text{B.}$ $A E=\frac{1}{2} A C$
$\text{C.}$ $\angle D B F+\angle D F B=90^{\circ}$
$\text{D.}$ $\angle B A F=\angle E B C$
如图, 以点 $A$ 为圆心, 适当的长为半径画弧, 交 $\angle A$ 两边于点 $M, N$, 再分别以 $M 、 N$ 为圆心, $A M$ 的长为半径画弧, 两弧交于点 $B$, 连接 $M B, N B$. 若 $\angle A=40^{\circ}$, 则 $\angle M B N=$
$\text{A.}$ $40^{\circ}$
$\text{B.}$ $50^{\circ}$
$\text{C.}$ $60^{\circ}$
$\text{D.}$ $140^{\circ}$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
不等式组 $\begin{cases} x-3 < 4 \\ \dfrac{3x+2}{5} >1\end{cases}$ 的解集为
已知 $x_{1}, x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2 x-1=0$ 的两根, 则 $\frac{1}{x_{1} x_{2}}=$ （ ）
如图, 点 $A$ 在第一象限, $A C \perp x$ 轴, 垂足为 $C, O A=2 \sqrt{5}, \tan A=\frac{1}{2}$, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图像
经过 $O A$ 的中点 $B$, 与 $A C$ 交于点 $D$.
(1) 求 $k$ 值;
(2) 求 $\triangle O B D$ 的面积.
如图, 在某信号塔 $A B$ 的正前方有一斜坡 $C D$, 坡角 $\angle C D K=30^{\circ}$, 斜坡的顶端 $C$ 与塔底 $B$ 的距离 $B C=8$ 米, 小明在斜坡上的点 $E$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角 $\angle A E N=60^{\circ}, C E=4$ 米, 且 $B C / / N E / / K D, A B \perp B C$ (点 $A, B, C, D, E, K, N$ 在同一平面内).
(1) 填空: $\angle B C D=$ 度, $\angle A E C=$ 度;
(2) 求信号塔的高度 $A B$ (结果保留根号).
如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A(0,4), B(3,4)$, 将 $\triangle A B O$ 向右平移到 $\triangle C D E$ 位置, $A$ 的对应点 是 $C, O$ 的对应点是 $E$, 函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $C$ 和 $D E$ 的中点 $F$, 则 $k$ 的值是
如图, 直线 $\mathrm{AD}, \mathrm{BC}$ 交于点 $\mathrm{O}, A B\|E F\| C D$. 若 $A O=2, O F=1, F D=2$. 则 $\frac{B E}{E C}$ 的值为
在直角三角形 $A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线, $D F=D C, \angle C=40^{\circ}$, 则 $\angle A D F=$
如图是放在地面上的一个长方体盒子, 其中 $A B=9, B B^{\prime}=5, B^{\prime} C^{\prime}=8$, 在线段 $A B$ 的三等分点 $E$ (靠近点 $A$ ) 处有一只蚂蚁, $B^{\prime} C^{\prime}$ 中点 $F$ 处有一米粒, 则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为
如图, 直线 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 被直线 $\boldsymbol{c}$ 所截, 已知 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}, \angle 1=130^{\circ}$, 则 $\angle 2$ ________ 为度.
如图, 将一副直角三角尺叠在一起, 使直角顶点重合于点 $O$, 则 $\angle A O B+\angle D O C=$度.
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
圭表（如图 1) 是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器, 它包括一根直立的标竿（称为 “表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为 “圭”), 当正午太阳照射在表上时, 日影 便会投影在圭面上, 圭面上日影长度最长的那一天定为冬至, 日影长度最短的那一天定为夏至. 图 2 是一个根据 某市地理位置设计的圭表平面示意图, 表 $A C$ 垂直圭 $B C$, 已知该市冬至正午太阳高度角（即 $\angle A B C$ ）为 $37^{\circ}$, 夏至正午太阳高度角 (即 $\angle A D C$ ）为 $84^{\circ}$, 圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $D B$ 的长）为 4 米.
(1) 求 $\angle B A D$ 的度数.
(2) 求表 $A C$ 的长（最后绝果精确到 $0.1$ 來).
(参考数据: $\sin 37^{\circ} \approx \frac{3}{5}, \cos 37^{\circ} \approx \frac{4}{5}, \tan 37^{\circ} \approx \frac{3}{4}, \tan 84^{\circ} \approx \frac{19}{2}$ )
21. 综合与实践
（1）问题探究：如图 1 是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第 1 卷命题 9: “平分一个已知角. ” 即: 作一个已知角的平分线, 如图 2 是欧几里得在 《几何原本》中给出的角平分线作图法: 在 $O A$ 和 $O B$ 上 分别取点 $C$ 和 $\mathrm{D}$, 使得 $O C=O D$, 连接 $C D$, 以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$, 则 $O E$ 就是 $\angle A O B$ 的平分线.
请写出 $O E$ 平分 $\angle A O B$ 的依据:
(2) 类比迁移: 小明根据以上信息研究发现: $\triangle C D E$ 不一定必须是等边三角形, 只需 $C E=D E$ 即可. 他 查阅资料: 我国古代已经用角尺平分任意角. 做法如下: 如图 3, 在 $\angle A O B$ 的边 $O A, O B$ 上分别取 $O M=O N$, 移动角尺, 使角尺两边相同刻度分别与点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 重合, 则过角尺顶点 $\mathrm{C}$ 的射线 $O C$ 是 $\angle A O B$ 的平分线, 请 说明此做法的理由;
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图 4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口 A，现在学校要在两
条小路之间安装一盏路灯 E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯 E 到岔路口 A 的距离和
休息椅 D 到岔路口 A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示
意图 5 中作出路灯 E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
在平面直角坐标系中, 已知点 $P(2 a-7,3-a)$ 到 $y$ 轴的距离为 11 , 求点 $P$ 的坐标
如图，一锐角 $\triangle A B C ， \angle B=48^{\circ}$ ，请用尺规作图法，在 $\triangle A B C$ 内部求作一点 $P$ ，使 $P B=P C$ ，且 $\angle P B C=24^{\circ}$. (保留作图痕迹，不写作法)
已知点 $C$ 在直线 $A B$ 上. 点 $M, N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.
(1) 若点 $C$ 在线段 $A B$ 上, $A C=6 \mathrm{~cm}, M B=10 \mathrm{~cm}$, 求线段 $B C, M N$ 的长;
(2) 若点 $C$ 在线段 $A B$ 的延长线上, 且满足 $A C-B C=b \mathrm{~cm}$, 求 $M N$ 的长.
如图, 为制作角度尺, 将长为 10 , 宽为 4 的矩形 $\mathrm{OABC}$ 分割成 $4 \times 10$ 的小正方形网格.在该矩形边上取点 $P$,来表示 $\angle \mathrm{POA}$ 的度数. 阅读以下作图过程, 并回答下列问题:
(1) 分别求点 $P_3, P_4$ 表示的度数.
(2) 用直尺和圆规在该矩形的边上作点 $P_5$, 使该点表示 $37.5^{\circ}$ (保留作图痕迹, 不写作法).