单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
如图, 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle A=90^{\circ}, M$ 为 $B C$ 的中点, $H$ 为 $A B$ 上一点, 过点 $C$ 作 $C G / / A B$, 交 $H M$ 的延 长线于点 $G$, 若 $A C=10, A B=8$, 则四边形 $A C G H$ 周长的最小值是
$\text{A.}$ 28
$\text{B.}$ 26
$\text{C.}$ 22
$\text{D.}$ 18
如图， $A B$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $C D \perp A B$ 于点 $E$ ，在 $B C$ 上取点 $F$ ，使得 $C F=C E$ ，连结 $A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $A D$. 若 $C G=G F$ ，则 $\frac{B C^2}{A D^2}$ 的值等于
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}+3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
如图, 点 $A, B, C$ 为 $\odot O$ 上的三个点, 如果 $\odot O$ 的半径为 5 , 锐角 $\angle C$ 的正弦值为 $\frac{3}{5}$, 则弦 $A B$ 的长为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
如图，在矩形 $A B C D$ 中，分别以点 $A$ 和 $C$ 为圆心， $A D$ 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点. 若 $A D=4$, 则图中阴影部分的面积为
$\text{A.}$ $32-8 \pi$
$\text{B.}$ $16 \sqrt{3}-4 \pi$
$\text{C.}$ $32-4 \pi$
$\text{D.}$ $16 \sqrt{3}-8 \pi$
若扇形 $A O B$ 的半径为 $6, \angle A O B=120^{\circ}$, 则 $\overparen{A B}$ 的长为
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $3 \pi$
$\text{C.}$ $4 \pi$
$\text{D.}$ $6 \pi$
在 $\triangle A B C$ 中, $A C=3, B C=4, A B=5$, 点 $P$ 在 $A B C$ 内, 分别以 $A B P$ 为圆心画圆, 圆 $A$ 半径为 1 , 圆 $B$ 半径为 2 , 圆 $P$ 半径为 3 , 圆 $A$ 与圆 $P$ 内切, 圆 $P$ 与圆 $B$ 的关系是
$\text{A.}$ 内含
$\text{B.}$ 相交
$\text{C.}$ 外切
$\text{D.}$ 相离
我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的 “割圆术”, 即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算, 指出 “割之弥细, 所失弥少. 割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体, 而无所失矣”. “割圆术” 孕育了微积分思想, 他用这种思想得到了圆周率 $\pi$ 的近似值为 3.1416. 如图, $\odot O$ 的半径为 1 , 运用 “割圆术”, 以圆内接正六边形面积近似估计 $\odot O$ 的面积, 可得 $\pi$ 的估计值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 若用圆内接正十二边形作近似估计, 可得 $\pi$ 的估计值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $2 \sqrt{3}$
如图, 在 圆$O$ 中, 若 $\angle A C B=30^{\circ}, O A=6$, 则扇形 $O A B$ (阴影部分) 的面积是
$\text{A.}$ $12 \pi$
$\text{B.}$ $6 \pi$
$\text{C.}$ $4 \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
如图, 圆$O$ 的圆心 $O$ 与正方形的中心重合, 已知圆 $O$ 的半径和正方形的边长都为 4 , 则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $4+2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4-2 \sqrt{2}$
下列三条线段能构成直角三角形的是（）
$\text{A.}$ $4,5,6$
$\text{B.}$ $1, \sqrt{2}, 3$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}, 3,6$
$\text{D.}$ $6,8,10$
如图, 菱形 $A B C D$ 的周长为 20 , 对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, E$ 为 $A D$ 的中点, 则 $O E$ 的长等于 ( )
$\text{A.}$ 2.5
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 10
如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 6 , 点 $E, F$ 分别在 $A B, A D$ 上, 若 $C E=3 \sqrt{5}$, 且 $\angle E C F=45^{\circ}$, 则 $A F$ 的长为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $A B=10, \angle B=60^{\circ}$, 则 $A C$ 的长为
如图, 在 $A B C D$ 中, $B D=C D, A E \perp B D$ 于点 $\mathrm{E}$, 若 $\angle C=70^{\circ}$, 则 $\angle B A E=$
如图, 多边形 $A B C D E F$ 和多边形 $A B G H$ 分别为正六边形和正方形, 连接 $C G$, 则 $\angle C B G=$
在长方形 $A B C D$ 中, 点 $P$ 在 $A D$ 上, 连接 $P B 、 P C$, 将 $\triangle A P B$ 沿 $P B$ 折得到 $\triangle A^{\prime} P B, \triangle D P C$ 沿 $P C$ 釉 折得到 $\triangle D^{\prime} P C$, 已知 $\angle D^{\prime} P B=15^{\circ}, \angle A^{\prime} P C=21^{\circ}$, 则 $\angle D^{\prime} C B$ 的度数为 ________ 度.
在四边形 $A B C D$ 中, $B C / / A D, C A$ 平分 $\angle B C D, O$ 为对角线的交点, $C D=A O, B C=O D$, 则 $\angle A B C=$
如图, 点 $C$ 在线段 $A B$ 上, 且 $A C=2 B C$, 分别以 $A C 、 B C$ 为边在线段 $A B$ 的同侧作正方形 $A C$ $D E 、 B C F G$, 连接 $E C 、 E G$, 则 $\tan \angle C E G=$
如图所示的 $4 \times 4$ 网格中, 每个小正方形的边长均为 1 , 点 $A, B, C, D$ 均在小正方形的顶点上, 连接 $A C$ 和 $B D$ 交于点 $E$, 分别过点 $A, E, B$ 和点 $B, E, C$ 作弧形成如图所示的图案, 则图中阴影部分的面积为
把一个扇形围成一个圆锥的侧面, 这个圆锥的主视图是腰长为 4 , 底边长为 2 的等腰三角形,则这个扇形的圆心角为
龚扇是自贡“小三绝”之一. 为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）. 扇形外侧两竹条 $A B, A C$ 夹角为 $120^{\circ} . A B$ 长 $30 \mathrm{~cm}$ ，扇面的 $B D$ 边长为 $18 \mathrm{~cm}$ ，则扇面面积为 $\qquad$ $\mathrm{cm}^2$ (结果保留 $\pi$ ).
如图，以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 与 $A C$ 相切于点 $A$ ，以 $A C$ 为边作平行四边形 $A C D E$ ，点 $\mathrm{D}$ 、 E均在 $\odot O$ 上， $D E$ 与 $A B$ 交于点 $F$ ，连接 $C E$ ，与 $\odot O$ 交于点 $G$ ，连接 $D G$. 若 $A B=10, D E=8$ ，则 $A F=$ $\qquad$ . $D G=$
如图, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形, 若 $\angle O B C=28^{\circ}$, 则 $\angle A=$
铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素. 如图是一个花瓣造型的花窗示意图, 由六条等弧连接而成, 六条弧所对应的弦构成一个正六边形, 中心为点 $O, \widehat{A B}$ 所在圆的圆心 $C$ 恰好是 $\triangle A B O$ 的内心, 若 $A$ $B=2 \sqrt{3}$, 则花窗的周长 (图中实线部分的长度) $=$ $\qquad$ . (结果保留 $\pi$ )
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $D, M$ 分别是弦 $A C$, 弧 $A C$ 的中点, $A C=12, B C=5$, 则 $M D$ 的长是
若扇形的圆心角为 $40^{\circ}$, 半径为 18 , 则它的弧长为
如图, $A, B$ 两点被池塘隔开, 为测得 $A, B$ 两点间的距离, 在直线 $A B$ 外选一点 $C$, 连接 $A C$ 和 $B C$. 分别取 $A C, B C$ 的中点 $D, E$, 若测得 $D, E$ 两点间的距离为 15 m , 则 $A, B$ 两点间的距离为 $\qquad$ m .
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, C D \| O E$, 直线 $C E$ 是线段 $O D$ 的垂直平分线, $C E$ 分别交 $O D, A D$ 于点 $\mathrm{F}, \mathrm{G}$, 连接 $D E$.
(1) 判断四边形 $O C D E$ 的形状, 并说明理由;
(2) 当 $C D=4$ 时, 求 $E G$ 的长.
如图, $A C$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线, $A B=2 \sqrt{5}, B C=4 \sqrt{5}, A D=6, C D=8, \angle B=$ $90^{\circ}$.
(1) 试判断 $\triangle A D C$ 的形状, 并说明理由;
(2) 求四边形 $A B C D$ 的面积.
如图, 在等腰 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=\sqrt{5}, D$ 为 $B C$ 边上异于中点的点, 点 $C$ 关于直线 $A D$ 的对称点为点 $E, E B$ 的延长线与 $A D$ 的延长线交于点 $F$, 求 $A D \cdot A F$ 的值.
如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上. 将 $\odot O$ 沿直径 $A B$ 对折, 点 $C$ 落在 $\odot O$ 上的点 $D$ 处, 分别连接 $A C, C D, A D, A$ $B$ 与 $C D$ 交于点 $E$. 另有一动点 $F$ 在 $\overparen{A D}$ 上运动, 连接 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$, 交 $A D$ 于点 $H$.
（1）当 $C F$ 平分 $\angle A C D$ 时.
①连结 $B C$, 求证: $B C=B G$.
②若 $E G=E B$, 求 $\frac{C G}{A D}$ 的值.
（2）当 $C F \perp A D$ 时, 探究线段 $A F$ 与 $O E$ 的长度关系.
（3）如图2, 若点 $F$ 运动到 $\overparen{C B D}$ 上, $A F$ 交 $C D$ 于点 $I$, 求证: $A C^2-A I^2=C I \cdot D I$.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 分别与 $B C, A C$ 交于点 $D, E$, 过点 $D$作 $\odot O$ 的切线 $D F$, 交 $A C$ 于点 $F$.
(1) 求证 $D F \perp A C$;
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $4, \angle C D F=22.5^{\circ}$, 求阴影部分的面积.
在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中， $\angle C=90^{\circ} ， \odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的内切圆，切点分别为 $\mathrm{D} ， \mathrm{E} ， \mathrm{~F}$.
(1)图1中三组相等的线段分别是 $C E=C F ， A F=$ $\qquad$ ,$B D=$ $\qquad$ ；若 $A C=3 ， B C=4$ ，则 $\odot O$ 半径长为 $\qquad$ ;
(2)如图2，延长 $A C$ 到点 $\mathrm{M}$ ，使 $A M=A B$ ，过点 $\mathrm{M}$ 作 $M N \perp A B$ 于点 $\mathrm{N}$.
求证: $M N$ 是 $\odot O$ 的切线.
如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=4 \sqrt{2}, D$ 为 $A B$ 中点, $\angle B A C=\angle B C D, \cos \angle A$ $D C=\frac{\sqrt{2}}{4}, \odot O$ 是 $\triangle A C D$ 的外接圆.
(1) 求 $B C$ 的长;
(2) 求 $\odot O$ 的半径.
如图, $A B$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$, 半径 $O C / / A B, B C$ 与 $\odot O$ 相交于点 $D$, 连接 $A D$.
(1) 求证: $\angle O C A=\angle A D C$.
(2) 若 $A D=2, \tan B=\frac{1}{3}$, 求 $O C$ 的长.
如图 1, $A B$ 为半圆 $O$ 的直径, $C$ 为 $B A$ 延长线上一点, $C D$ 切半圆于点 $D, B E \perp C D$, 交 $C D$ 延长线于点 $E$, 交半圆于点 $F$, 已知 $O A=\frac{3}{2}, A C=1$. 如图 2, 连结 $A F, P$ 为线段 $A F$ 上一点, 过点 $P$ 作 $B C$ 的平行线分别交 $C E, B E$ 于点 $M, N$, 过点 $P$ 作 $P H \perp A B$ 于点 $H$. 设 $P H=x, M N=y$.
(1) 求 $C E$ 的长和 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式;
（2）当 $P H < P N$, 且长度分别等于 $P H, P N, a$ 的三条线段组成的三角形与 $\triangle B C E$相似时, 求 $a$ 的值;
（3）延长 $P N$ 交半圆 $O$ 于点 $Q$, 当 $N Q=\frac{15}{4} x-3$ 时, 求 $M N$ 的长.
如图, $A B$ 是 $\mathrm{e} O$ 的直径, 点 $C, F$ 是 $\mathrm{e} O$ 上的点, 且 $\angle C B F=\angle B A C$,连接 $A F$, 过点 $C$ 作 $A F$ 的垂线, 交 $A F$ 的延长线于点 $D$, 交 $A B$ 的延长线于点 $E$,过点 $F$ 作 $F G \perp A B$ 于点 $G$, 交 $A C$ 于点 $H$.
(1) 求证: $C E$ 是 $\mathrm{e} O$ 的切线;
(2) 若 $\tan E=\frac{3}{4}, B E=4$, 求 $F H$ 的长.
如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, \angle A=\angle C, B D$ 为对角线.
(1) 证明: 四边形 $A B C D$ 是平行四边形;
(2) 已知 $A D>A B$, 请用无刻度的直尺和圆规作菱形 $B E D F$, 顶点 $E, F$ 分别在边 $B C, A D$ 上 (保留作图痕迹, 不要求写作法).
我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，$AB$ 是$\ \odot O$ 的直径，直线$l$是$\ \odot O$ 的切线，$B$ 为切点．$P$ ，$Q$ 是圆上两点（不与点 重合，且在直径 的同侧）， 分别作射线 $A P$, $A Q$ 交直线 $l$ 于点 $C$, 点 $D$.
(1) 如图 1, 当 $A B=6, B P$ 长为 $\pi$ 时, 求 $B C$ 的长;
(2) 如图 2, 当 $\frac{A Q}{A B}=\frac{3}{4}, B P=P Q$ 时, 求 $\frac{B C}{C D}$ 的值;
(3) 如图 3, 当 $\sin \angle B A Q=\frac{\sqrt{6}}{4}, B C=C D$ 时, 连接 $B P, P Q$, 直接写出 $\frac{P Q}{B P}$ 的值.
