单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
如图，已知点 $A 、 B 、 C 、 D$ 在 $\odot O$ 上，弦 $A B 、 C D$ 的延长线交 $\odot O$ 外一点 $E ， \angle B C D=25^{\circ}$ ， $\angle E=39^{\circ}$ ，则 $\angle A P C$ 的度数为
$\text{A.}$ $64^{\circ}$
$\text{B.}$ $89^{\circ}$
$\text{C.}$ $90^{\circ}$
$\text{D.}$ $94^{\circ}$
已知 $\odot O$ 的半径 $O D$ 垂直于弦 $A B$, 交 $A B$ 于点 $C$, 连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$,若 $A B=8, C D=2$, 则 $\triangle B C E$ 的面积为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 15
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 18
如图, 圆环中大圆的半径为 $r$, 小圆的半径为 $\frac{r}{2}, A B$ 为大圆的直径, 则阴影部分的面积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi r^2}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3 \pi r^2}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi r^2}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi r^2}{8}$
如图, $\odot O, \odot O_1$ 都经过 $A 、 B$ 两点, 且点 $O$ 在 $\odot O_1$ 上, 连接 $A O$ 并延长,交 $\odot O$ 于点 $C$, 连接 $B C$ 交 $\odot O_1$ 于点 $D$, 连接 $A D, A D \perp B O$, 若 $A B=3$, 则 $\overparen{B D}$ 的长为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$
陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一. 图 (2) 是从正面看到的一个“老碗”(图 (1) ) 的形状示意图， $\widehat{A B}$ 是 $\odot O$ 的一部分， $D$ 是 $\widehat{A B}$ 的中点，连接 $O D ，$与弦 $A B$ 交于点 $C$ ，连接 $O A, O B$. 已知 $A B=24 \mathrm{~cm}$ ，碗深 $C D=8 \mathrm{~cm}$ ，则 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为
$\text{A.}$ 13cm
$\text{B.}$ 16cm
$\text{C.}$ 17cm
$\text{D.}$ 26cm
如图, $O A$ 为 $\odot O$ 的半径, 弦 $B C \perp O A$ 于点 $P$. 若 $B C=8, A P=2$, 则 $\odot O$ 的半径长为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 12
如图, $P A 、 P B$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $A 、 B$ 两点, $C$ 是圆上一点, 连接 $A C 、 B C$, 若 $\angle A C B=62^{\circ}$, 则 $\angle P$ 的度数为
$\text{A.}$ $56^{\circ}$
$\text{B.}$ $62^{\circ}$
$\text{C.}$ $66^{\circ}$
$\text{D.}$ $68^{\circ}$
如果两圆的半径分别为 $R$ 和 $r(R>r)$, 圆心距为 $d$, 且$(d-r)^2=R^2$, 则两圆的位置关系是
$\text{A.}$ 内切
$\text{B.}$ 外切
$\text{C.}$ 内切或外切
$\text{D.}$ 不能确定
如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $B C$ 是直径, $\angle C=75^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数为
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $75^{\circ}$
$\text{C.}$ $140^{\circ}$
$\text{D.}$ $105^{\circ}$
如图，点 $A 、 B 、 C$ 在 $\odot O$ 上， $\angle O B C=18^{\circ}$ ，则 $\angle A=$
$\text{A.}$ $18^{\circ}$
$\text{B.}$ $36^{\circ}$
$\text{C.}$ $72^{\circ}$
$\text{D.}$ $144^{\circ}$
如图, 圆$O$ 中, 弦 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $M$, 点 $A$ 为 $C D$ 中点, $\angle B A D=45^{\circ}, \angle A M C=75^{\circ}$,则 $\angle C A D$ 的度数是
$\text{A.}$ $140^{\circ}$
$\text{B.}$ $130^{\circ}$
$\text{C.}$ $120^{\circ}$
$\text{D.}$ $110^{\circ}$
设 $A B$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, 且与弦 $A B$ 相交, 记M $=\mid S _{\triangle C A B}$ $-S_{\triangle D A B} \mid, N=2 S_{\triangle O A B}$, 则
$\text{A.}$ $\mathrm{M}>\mathrm{N}$
$\text{B.}$ $\mathrm{M}=\mathrm{N}$
$\text{C.}$ $\mathrm{M} < \mathrm{N}$
$\text{D.}$ $M、N$的大小关系不确定
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图， $\triangle A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(-1,3) 、 B(-2,-2) 、 C(4,-2)$ ，则 $\triangle A B C$ 外接圆上劣弧 $A B$ 的长度为 . (结果保留 $\pi$ )
如图，一个较大的圆内有 15 个半径为 1 的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为
用半径为 $3 \mathrm{~cm}$, 圆心角是 $120^{\circ}$ 的扇形围成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径等于 ________ cm.
如图, Rt $\triangle A B C$ 的内切圆 $\odot O$ 与两直角边 $A B 、 B C$ 分别相切于点 $D 、 E$, 过劣弧 $D E$ (不包括端点 $D 、 E)$ 上任一点 $P$ 作 $\odot O$ 的切线 $M N$, 与 $A B 、 B C$ 分别交于点 $M 、 N, A B=8, B C=6$, 则 Rt $\triangle M B N$ 的周长
如图, 以点 $O$ 为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦 $A B$ 是小圆的切线,点 $P$ 为切点, 大圆、小圆的半径分别为 5 和 3 , 则 $A B=$.
如图, 在扇形 $O A B$ 中, 已知 $\angle A O B=90^{\circ}, O A=2$, 过 $A B$ 的中点 $C$ 作 $C D \perp O A, C E \perp O B$, 垂足分别为 $D 、 E$, 则图中阴影部分的面积为
已知 $D$ 是 $\triangle A B C$ 内一点, $E$ 是 $A C$ 的中点, $A B=6, B C=10, \angle B A D=\angle B C D$, $\angle E D C=\angle A B D$, 则 $D E=$
扇形的圆心角为 $120^{\circ}$ ，半径为 4 ，则扇形的面积为
以线段 $A B$ 为直径作一个半圆, 圆心为 $O, C$ 是半圆周上的点, 且 $O C^2=A C \cdot B C$,则 $\angle C A B=$
如图, $\odot 0$ 与正六边形 $\mathrm{ABCDEF}$ 的边 $\mathrm{CD}, \mathrm{EF}$ 分别相切于点 $\mathrm{C}, \mathrm{F}$. 若 $\mathrm{AB}=2$, 则 $\odot 0$的半径长为
如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{BAC}=50^{\circ}$, 以 $\mathrm{AB}$ 为直径作半圆, 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{D}$, 交 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{E}$,则弧 DE 的长为 $\qquad$ $\mathrm{cm}$.
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 在对角线 $A C$ 上，以 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径的 $\odot O$ 与 $A D 、 A C$ 分别交于点 $E 、 F$ ，且 $\angle A C B=\angle D C E$.
(1) 请判断直线 $C E$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并证明你的结论；
(2) 当 $A B: A D=$时，直线 $C B$ 与 $\odot O$ 相切 (只需填出比值即可).
如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上, $C D \perp A B$ 于点 $D$, 点 $E$ 在 $B D$ 上, $A E=A C$, 四边形 $D E F M$ 是正方形, $A M$ 的延长线与 $\odot O$ 交于点 $N$. 证明: $F N=D E$.
如图， $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O ， \angle B A C=45^{\circ}$ ，过点 $B$ 作 $B C$ 的垂线，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，并于 $C A$ 的延长线交于点 $E$ ，作 $B F \perp A C$ ，垂足为 $M$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$.
(1)求证: $B D=B C$;
(2)若 $\odot O$ 的半径 $r=3, B E=6$, 求线段 $B F$ 的长.
(1)如图 ①，在 $\triangle O A B$ 中， $O A=O B ， \angle A O B=120^{\circ} ， A B=24$ ，若 $\odot O$的半径为 4 ，点 $\mathrm{P}$ 在 $\odot O$ 上，点 $\mathrm{M}$ 在 $A B$ 上，连接 $P M$ ，求线段 $P M$ 的最小值.
(2)如图② 所示, 五边形 $\mathrm{ABCDE}$ 是某市工业新区的外环路, 新区管委会在点 $\mathrm{B}$ 处, 点 $\mathrm{E}$处是该市的一个交通枢纽. 已知: $\angle A=\angle A B C=\angle A E D=90^{\circ}, A B=A E=$ $10000 \mathrm{~m} . B C=D E=6000 \mathrm{~m}$. 根据新区的自然环境及实际需求, 现要在矩形 $A F D E$ 区域内 (含边界) 修一个半径为 $30 \mathrm{~m}$ 的圆形环道 $\odot O$ ；过圆心 $O$ ，作 $O M \perp A B$ ，垂足为 $M$ ，与 $\odot O$ 交于点 $N$ ，连接 $B N$. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上，连接 $E P$.其中，线段 $B N 、 E P$ 及 $M N$ 是要修的三条道路, 要在所修道路 $B N 、 E P$ 之和最短的情况下，使所修道路 $M N$ 最短，试求此时环道 $\odot O$ 的圆心 $O$ 到 $A B$ 的距离 $O M$的长.
“圆材埋壁” 是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题: “今有圆材, 埋在壁中, 不知大小,以锯锯之, 深一寸, 锯道长一尺, 问径几何? ”用现在的数学语言可表达为: “如图, $C D$ 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $A B \perp C$ $D$ 于点 $E, C E=1$ 寸, $A B=10$ 寸, 则直径 $C D$ 的长为多少?
如图所示, 在 $R t \triangle A B C$ 中, 点 $O$ 在斜边 $A B$ 上, 以 $O$ 为圆心, $O B$ 为半径作圆 $O$, 分别与 $B C 、 A B$相交于点 $D 、 E$, 连接 $A D$, 已知 $\angle C A D=\angle B$;
(1) 求证: $A D$ 是 $\odot O$ 的切线;
(2) 若 $\angle B=30^{\circ}, C D=\frac{3}{2}$, 求劣弧 $B D$ 的长;
(3) 若 $A C=2, B D=3$, 求 $A E$ 的长.
如图, $\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, $A B$ 是直径.
(1) 尺规作图：作 $\angle A C B$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $D$;
(不写作法, 保留作图痕迹)
(2) 在 (1) 的条件下, 当 $\odot O$ 的半径为 2 时, 求 $\overparen{A D}$ 的长.
19. (8分) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, O$ 为 $A B$ 边上一点, 以点 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径作 $\odot$ $O$, 与 $B C$ 相交于 $E, F$ 两点, 与 $A B$ 交于点 $D$, 连接 $A E, A F, D E$.
(1) 求证: $\angle C A F=\angle E A D$;
(2) 若 $O D=D B, F$ 为 $A E$ 弧的中点, 求 $\tan \angle C A F$ 的值.
如图, $C$ 为半圆上一点, $A B$ 为直径, $\widehat{B C}$ 沿 $B C$ 翻折与 $A B$ 交于点 $D, \widehat{B D}$ 沿 $B D$ 翻折交 $B C$于 $E$, 若 $E$ 为 $B C$ 中点, 求 $\frac{A B}{B C}$ 的值。
如图, 在扇形 $O A B$ 中, $\angle A O B=90^{\circ}, O A=12$, 点 $C$ 在 $O A$ 上, $A C=4$,点 $D$ 为 $O B$ 的中点, 点 $E$ 为弧 $A B$ 上的动点, $O E$ 与 $C D$ 的交点为 $F$.
(1) 当四边形 $O D E C$ 的面积 $S$ 最大时, 求 $E F$;
(2) 求 $C E+2 D E$ 的最小值.
如图, $A B, C D$ 是 $\odot O$ 的两条直径, 且 $A B \perp C D$, 点 $E$ 是 $\overparen{B D}$ 上一动点 (不与点 $B, D$ 重合), 连接 $D E$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点 $F$, 点 $P$ 在 $A F$ 上, 且 $\angle P E F=\angle D C E$, 连接 $A E, C E$ 分别交 $O D, O B$ 于点 $M, N$, 连接 $A C$, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$.
(1) 求证: $P E$ 是 $\odot O$ 的切线;
（2）当 $\angle D C E=15^{\circ}$ 时, 求证: $A M=2 M E$ ；
(3) 在点 $E$ 的移动过程中, 判断 $A N \cdot C M$ 是否为定值, 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.
如图，四边形 $\mathrm{ABCD}$ 内接于 $\odot \mathrm{O}, \mathrm{BD}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径， $\mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$ 于点 $\mathrm{E}, \mathrm{DA}$ 平分 $\angle \mathrm{BDE}$.
(1) 求证: $\mathrm{AE}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线;
(2) 如果 $\mathrm{AB}=4 ， \mathrm{AE}=2$ ，求 $\odot \mathrm{O}$ 的半径.
如图, 在以 $A B$ 为直径的 圆 $ O$ 中, 点 $D, E$ 在 $\mathrm{e} O$ 上, 连接 $A D, D E, B E$, 过点 $A$ 作 $A C / / B E$ 交 $B D$ 的延长线于点 $C, \angle C=\angle A D E$.
(1) 求证: $A B=B C$;
(2) 若 $\tan C=3, B D=6$, 求 $D E$ 的长.
如图，圆内接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点 $E, B D$ 平分 $\angle A B C ， \angle B A C=\angle A D B$.
(1)求证 $D B$ 平分 $\angle A D C$ ，并求 $\angle B A D$ 的大小;
(2)过点 $C$ 作 $C F \| A D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$. 若 $A C=A D, B F=2$ ，求此圆半径的长.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \odot 0$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 过点 0 作 $A C$ 的垂线, 垂足为 $D$, 分别交直线 $B C, A C$ 于点 $E, F$, 射线 $A F$ 交直线 $B C$ 于点 $G$.
(1) 求证 $A C=C G$.
(2) 若点 $\mathrm{E}$ 在 $\mathrm{CB}$ 的延长线上, 且 $\mathrm{EB}=\mathrm{CG}$, 求 $\angle \mathrm{BAC}$ 的度数.
(3) 当 $\mathrm{BC}=6$ 时, 随着 $\mathrm{CG}$ 的长度的增大, $\mathrm{EB}$ 的长度如何变化? 请描述变化过程, 并说明理由.
如图, 点 $A$ 在第一象限内, $\odot A$ 与 $x$ 轴相切于点 $B$, 与 $y$ 轴相交于点 $\mathrm{C}$, D. 连结 $\mathrm{AB}$, 过点 $A$ 作 $A H \perp C D$于点 $H$. (1) 求证: 四边形 $A B O H$ 为矩形. (2) 已知 $\odot A$ 的半径为 $4, O B=\sqrt{7}$, 求弦 $C D$ 的长.
