单选题 （共 18 题 ），每题只有一个选项正确
甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选 去 （ ）
$\text{A.}$ 甲
$\text{B.}$ 乙
$\text{C.}$ 丙
$\text{D.}$ 丁
一个不透明的袋子中装有 9 个小球, 其中 6 个红球、 3 个绿球, 这些小球除颜色外无其他 差别, 从袋子中随机摸出一个小球. 则摸出的小球是红球的概率是 （ ）
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
申冉的妈妈在网上销售装饰品. 最近一周, 每天销售某种装饰品的个数为: $11,10,11,13$,
$11,13,15$. 关于这组数据, 冉申得出如下结果, 其中错误的是（ ）
$\text{A.}$ 众数是 11
$\text{B.}$ 平均数是 12
$\text{C.}$ 方差是 $\frac{18}{7}$
$\text{D.}$ 中位数是 13
不透明的袋子中有两个小球, 上面分别写着数字“ 1 ”, “ 2 ”, 除数字外两个小球无其他差别. 从 中随机摸出一个小球, 记录其数字, 放回并摇匀, 再从中随机摸出一个小球, 记录其数 字, 那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
如图在三条横线和三条坚线组成的图形中, 任选两条横线和两条坚线都可以图成一个矩形,
从这些矩形中任选一个, 则所选矩形㤐点 $A$ 的概率是 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{9}$
如图是某几何体的展开图，该几何体是
$\text{A.}$ 长方体
$\text{B.}$ 圆柱
$\text{C.}$ 圆锥
$\text{D.}$ 三棱柱
同时抛郑两枚质地均匀的硬币, 则一枚硬币正面向上、一枚硬币反 面向上的概率是 ( )
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
如果按照创新性占 $60 \%$, 实用性占 $40 \%$ 计算总成绩, 并根据总成绩择优推荐, 那么应推 存的作品是（）
$\text{A.}$ 甲
$\text{B.}$ 乙
$\text{C.}$ 丙
$\text{D.}$ 丁
某市 2018 年底森林覆盖率为 $63 \%$. 为贯彻落实 “绿水青山就是金 山银山” 的发展理念, 该市大力开展植树造林活动, 2020 年底森林覆盖率达到 $68 \%$, 如 果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 $x$, 那么, 符合题意的方程是（）
$\text{A.}$ $0.63(1+x)=0.68$
$\text{B.}$ $0.63(1+x)^{2}=0.68$
$\text{C.}$ $0.63(1+2 x)=0.68$
$\text{D.}$ $0.63(1+2 x)^{2}=0.68$
2022 年 4 月 16 日, 神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务, 顺利返回地球家园.六 个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标, 其文字上方的图案是中心 对称图形的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现, 其每圈螺纹的直径与 相邻螺纹直径的比约为 0.618 . 这体现了数学中的
$\text{A.}$ 平移
$\text{B.}$ 旋转
$\text{C.}$ 轴对称
$\text{D.}$ 黄金分割
如图, 两盘灯笼的位置 A, B 的坐标分别是 $(-3,3),(1,2)$, 将点 B 向右平移 2 个单位, 再向上平移 1 个单位得到点 $B^{\prime}$, 则关于点 $A^{\prime}, B^{\prime}$ 的位置描述正确是
$\text{A.}$ 关于 $x$ 轴对称
$\text{B.}$ 关于 $y$ 轴对称
$\text{C.}$ 关于原点 $O$ 对称
$\text{D.}$ 关于直线 $y=x$ 对称
古代中国的诸多技艺均领先世界水平, 即使到现代也依然让人叹为观止. 桻卯结构就是其中最为华丽的一种, 楎卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式. 凸出部分叫㻶(或桻宽、高分别相同, 且槥头的高度也相同, 关于它们的三视图, 下列描述正确的是
$\text{A.}$ 主视图相同
$\text{B.}$ 左视图相同
$\text{C.}$ 俯视图相同
$\text{D.}$ 三种视图都不相同
在一次折纸活动中, 某小组成员将一长方形纸条折叠成如图所示的图形, 若 $\angle 1=40^{\circ}$, 则 $\angle 2$ 的度数为
$\text{A.}$ $115^{\circ}$
$\text{B.}$ $110^{\circ}$
$\text{C.}$ $105^{\circ}$
$\text{D.}$ $100^{\circ}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为
看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 （ ）
如图是某剧场第一排座位分布图. 甲、乙、丙、丁四人购票, 所购票数分别为 $2,3,4,5$. 每 人选座购票时, 只购买第一排的座位相邻的票, 同时使自己所选的座位号之和最小, 如 果按 “甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票, 那么甲购买 1,2 号座位的票, 乙购买 3,5 , 7 号座位的票, 丙选座购票后, 丁无法购买到第一排座位的票. 若丙第一个购票, 要使其 他三人都能购买到第一排座位的票, 写出一种满足条件的购票的先后顺序
若从甲、乙、丙 3 位 “爱心辅学” 志愿者中随机选 1 位为学生在线辅导功课, 则甲被选到的
概率为
在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球, 小明在袋中放入 3 个黑球（每 个黑球除颜色外其余都与红球相同), 摇匀后每次随机从袋中摸出一个球, 记录颜色后放 回袋中, 通过大量重复摸球试验后发现, 摸到红球的频率稳定在 $0.85$ 左右, 估计袋中红 球有 （ ） 个.
有甲、乙两组数据, 如下表所示: 甲、乙两组数据的方差分别为 $s_甲^2$ , $s_乙^2$, 则 $s_甲^2$ （ ） $s_乙^2$(填 $>$,$ < $ 或 $=$)
如图，在等腰 $Rt \triangle A B C$ 中， $\angle A C B=90^{\circ}$ ，若点 $E ， F$ 分别在边 $A C$ 和边 $B C$ 上，沿直线 $E F$ 将 $\triangle C E F$ 翻折，使点 $C$ 落于 $\triangle A B C$ 所在平面内，记为点 $D$. 直线 $C D$ 交 $A B$ 于点 $G$.
（1）若 $\mathrm{CF}$ 落在边 $\mathrm{AB}$ 上，则 $\frac{A G}{G B}=$
(2) 若 $\frac{A G}{G B}=\lambda$ ，则 $\tan \angle \mathrm{CEF}=$ (用含的代数式表示).
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某校将学生体质健康测试成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析．
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 （ ） 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%．请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
某单位食堂为全体 960 名职工提供了 $A, B, C, D$ 四种套餐, 为了解职工对这四种套餐的 喜好情况, 单位随机抽取 240 名职工进行 “你最喜欢哪一种套餐 (必选且只选一种)” 问 卷调查. 根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图, 部分信息如下:
(1) 在抽取的 240 人中最喜欢 $A$ 套餐的人数为
扇形统计图中 “ $C$ ” 对应扇形的圆 心角的大小为
(2) 依据本次调查的结果, 估计全体 960 名职工中最喜欢 $B$ 套餐的人数;
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任 “食品安全监督员”, 求甲被选到的 概率.
为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署, 某贫困地区的广大党员干部深入农村
积极开展 “精准扶贫” 工作. 经过多年的精心帮扶, 截至 2019 年底, 按照农民人均年纯
收入 3218 元的脱贫标准, 该地区只剩少量家庭尚末脱贫. 现从这些尚末脱贫的家庭中随
机抽取 50 户, 统计其 2019 年的家庭人均年纯收入, 得到如图 1 所示的条形图.
（1）如果该地区尚末脱贫的家庭共有 1000 户, 试估计其中家庭人均年纯收入低于 2000 元（不含 2000 元）的户数;
（2）估计 2019 年该地区尚末脱贫的家庭人均年纯收入的平均值;
(3) 2020 年初, 由于新冠疫情, 农民收入受到严重影响, 上半年当地农民家庭人均月纯 收入的最低值变化情况如图 2 的折线图所示. 为确保当地农民在 2020 年全面脱贫, 当地 政府积极筹集资金, 引进某科研机构的扶贫专项项目. 据预测, 随着该项目的实施, 当 地农民自 2020 年 6 月开始, 以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加 170 元.
已知 2020 年农村脱贫标准为农民人均年纯收入 4000 元, 试根据以上信息预测该地区所 有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫.
通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
（1）当 $x=$ 时, $y=1.5$;
（2）根据表中数值描点 $(x, y)$, 并画出函数图象;
（3）观察画出的图象, 写出这个函数的一条性质:
如图, 在每个小正方形的边长为 1 个单位的网格中, $\triangle A B C$ 的顶点均在格点(网格线的交点)
上.
(1) 将 $\triangle A B C$ 向右平移 5 个单位得到 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$, 画出 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$;
(2) 将 (1) 中的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $C_{1}$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle A_{2} B_{2} C_{1}$, 画出 $\triangle A_{2} B_{2} C_{1}$.
为了解全市居民用户用电情况, 某部门从居民用户中随机抽取 100 户进行月用电量（单位:
$k W \cdot h)$ 调查, 按月用电量 $50 \sim 100,100 \sim 150,150 \sim 200,200 \sim 250,250 \sim 300,300 \sim 350$
进行分组, 绘制频数分布直方图如图.
(1) 求频数分布直方图中 $x$ 的值;
(2) 判断这 100 户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组 (直接写出结果);
(3) 设各组居民用户月平均用电量如表:
根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．
为了解甲、乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况, 从这两座城市的邮政企业中, 各随机 抽取了 25 家邮政企业, 获得了它们 4 月份收入 (单位: 百万元) 的数据, 并对数据进行 整理、描述和分析. 下面给出了部分信息.
$a$. 甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下 (数据分成 5 组: $6 \leqslant x < 8$, $8 \leqslant x < 10, \quad 10 \leqslant x < 12, \quad 12 \leqslant x < 14,14 \leqslant x \leqslant 16)$;
b. 甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 $10 \leqslant x < 12$ 这一组的是:
$$
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
$$
c. 甲、乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数、中位数如下:
根据以上信息, 回答下列问题;
（1）写出表中 $m$ 的值;
(2) 在甲城市抽取的邮政企业中, 记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数 为 $p_{1}$. 在乙城市抽取的邮政企业中, 记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个 数为 $p_{2}$. 比较 $p_{1}, p_{2}$ 的大小, 并说明理由;
（3）若乙城市共有 200 家邮政企业, 估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出 结果).
【问题提出】在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C \neq B C$, 点 $D$ 和 点 $A$ 在直线 $B C$ 的同侧, $B D=B C, \angle B A C=\alpha, \angle D B C=\beta$, 且 $\alpha+\beta=120^{\circ}$, 连接 $A D$, 求 $\angle A D B$ 的度数. (不必解答)
【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究, 当 $\alpha=90^{\circ}, \beta=30^{\circ}$ 时, 利用轴对称知识, 以 $A B$ 为对称轴构造 $\triangle A B D$ 的轴对称图 形 $\triangle A B D^{\prime}$ ，连接 $C D^{\prime}$ (如图 2), 然后利用 $\alpha=90^{\circ}, \beta=30^{\circ}$ 以 及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空: $\triangle D^{\prime} B C$ 的形状是 （ ） 三角形; $\angle A D B$ 的度数为 （ ）
【问题解决】
在原问题中, 当 $\angle D B C < \angle A B C$ (如图 1) 时, 请计算 $\angle A D B$ 的度数 （ ）
【拓展应用】在原问题中, 过点 $A$ 作直线 $A E \perp B D$, 交直线 $B D$ 于 $E$, 其他条件不变若 $B C=7, A D=2$. 请直接写出线段 $B E$ 的长为 （ ）
在平面内, 将一个多边形先绕自身的顶点 $\mathrm{A}$ 旋转一个角度 $\left(\theta\left(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}\right)\right.$, 再将旋转后的多边形以点 $\mathrm{A}$ 为位似中心放大或缩小, 使所得多边形与原多边形对应线段的比为 $k$, 称这种变换为自旋转位似变换. 若顺时针旋转, 记作 $T(A$, 顺 $\theta, k)$; 若逆时针旋转, 记作 $\mathrm{T}(\mathrm{A}$, 逆 $\theta, \mathrm{k})$.
例如: 如图(1), 先将 $\triangle A B C$ 绕点 $\mathrm{B}$ 逆时针旋转. $50^{\circ}$, 得到 $\triangle A_1 B C_1$, 再将 $\triangle A_1 B C_1$ 以点 $\mathrm{B}$ 为位似中心缩小到原来的 $\frac{1}{2}$, 得到 $\triangle A_2 B C_2$, 这个变换记作 $\mathrm{T}$ ( $\mathrm{B}$, 逆 $50^{\circ}, \frac{1}{2})$.
(1) 如图(2), $\triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{C}\right.$, 顺 $\left.60^{\circ} ， 2\right)$ 得到 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$, 用尺规作出 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$. (保留作图痕迹)
(2) 如图(3), $\triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{B}\right.$, 逆 $\left.\mathrm{a}, \mathrm{k}_1\right)$ 得到 $\triangle E B D, \triangle A B C$ 经过 $\mathrm{T}\left(\mathrm{C}\right.$, 顺 $\left.\beta, \mathrm{k}_2\right)$得到 $\triangle F D C$, 连接 $\mathrm{AE}, \mathrm{AF}$. 求证: 四边形 $\mathrm{AFDE}$ 是平行四边形.
(3) 如图(4), 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=150^{\circ}, A B=2, A C=1$. 若 $\triangle A B C$ 经过 (2) 中的变换得到的四边形 AFDE 是正方形.
I. 用尺规作出点 $\mathrm{D}$ (保留作图痕迹, 写出必要的文字说明);
II. 直接写出 $A E$ 的长.
如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别为对边 $A D ， B C$ 的中点，线段 $E F$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，延长 $C D$ 于点G，连结GE并延长交 $A C$于点 $Q$ ， 连结 $G F$ 交 $A C$ 于点 $P$ ， 连结 $Q F$.
(1) 若 $D G=\frac{1}{2} C D$.
①求证: 点 $Q$ 为 $O A$ 的中点.
② 若 $\mathrm{OA}=1 ， \angle \mathrm{ACB}=30^{\circ}$ ，求 $\mathrm{QF}$ 的长.
(2) 求证: FE平分 $\angle Q F P$.
(3) 若 $\mathrm{CD}=\mathrm{mDG}$ ，求 $\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{QF}}$. (结果用含 $\mathrm{m}$ 的代数式表示).
如图, $\triangle A D E$ 由 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到, 且点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的延长线上, $A D$, 相交于点 $P$.
(1)求 $\angle B D E$ 的度数；
(2) $F$ 是 $E C$ 延长线上的点, 且 $\angle C D F=\angle D A C$.
①判断DF和PF的数量关系, 并证明;
②求证: $\frac{E P}{P F}=\frac{P C}{C F}$
如图是由小正方形组成的 $5 \times 8$ 网格, 每个小正方形的顶点叫做格点, 线段 $A B$ 的两个端点都在格点上. 请仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图.
(1) 请在图 1 和图 2 中分别作出线段 $A B$ 关于直线 $l$ 的轴对称线段 $C D$.
(2)线段 $A B$ 绕某个点旋转一定的角度是否也能得到线段 $C D$ ? 若能, 请分别在图 1 和图 2 中作出旋转中心 $O$; 若不能, 请说明理由 (画图过程用虚线表示).
